d528：概率论十一_大数定理与中心极限定理

admin 2024-05-07 07:26:56 0 0

前言：

      百度百科

       概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。

大数定律分为弱大数定律和强大数定律。

          

   

参考文档

https://wenku.baidu.com/view/60d05b0eab00b52acfc789eb172ded630b1c98b8.html

https://wenku.baidu.com/view/65503ceae97101f69e3143323968011ca200f752.html

https://wenku.baidu.com/view/d78dc417ce84b9d528ea81c758f5f61fb73628a0.html

   一  目录：

      1  大数定理

      2： 中心极限定理

 

一 大数定理

     1.1   依概率收敛

             

   应用： 设置定时器时间长度

 

1.3  切比雪夫大数定理

        设 X_1,X_2,...X_n 是相互独立的随机变量。 E(X_i),D(X_i) 存在

       则

       lim_{n->\infty }P\begin{Bmatrix} |\frac{1}{n}\sum X_i - \frac{1}{n}\sum E(X_i)|</p> <p>      说明： 即使方差和数学期望不同，但是均值依然收敛</p> <p> </p> <p>   <strong> 推论， 独立且同分布（方差，和数学期望相同的）</strong></p> <p>    <img alt=\infty }P\begin{Bmatrix} |\frac{1}{n}\sum X_i - u|

    证明：

         \frac{1}{n}\sum E(X_i)= u

    

         D(\frac{1}{n} \sum X_i)=\frac{1}{n}\varrho ^2

        带入切比雪夫不等式就可以得到上式

 

1.4 伯努利大数定理

      lim P \begin{Bmatrix} | \frac{S_n}{n}-p|</p> <p>       证明：</p> <p>       <img alt=

      D(S_n/n)= \frac{np(1-p)}{n^2}= \frac{p(1-p)}{n}

     带入切比雪夫不等式上式成立

 

二 中心极限定理

     1： 莱维中心极限定理  

            前提：   独立同分布的中心极限定理

                        E(x_k)=u , D(x_k)=\sigma^2

            则标准化变量

                    Y=\frac{\sum x_k -nu}{\sqrt{n \sigma^2 }} (D(Y0=1 E(Y) =0) 服从正态分布

                    lim_{n->\infty }F_n(x)=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi (x)

        

                       

     2：  De Moivre–Laplace    棣莫弗-拉普拉斯定理

             相当于上面例子的特例

             二项分布  E(x_k)=p, D(x_k)=p(1-p)

            

            则标准化变量

              Y=\frac{\sum x_k -np}{\sqrt{np(1-p)}}   服从正态分布

              lim_{n->\infty }F_n(x)=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=\Phi (x)

 

     3： Lindebery-Levy   李雅普诺夫定理     

            设随机变量X1,X2,…,Xn,….相互独立，它们具有数学期望和方差

       E(x_k)=u_k, D(X_k)=\sigma_k^2,  B_n^2= \sum \sigma_k^2

       存在正整数m,使得当n->\infty时

      \frac{1}{B_n^{2+m}}\sum E(|X_k-U_k|)^{2+m}->0

       则标准化变量

      Y_n=\frac{\sum x_k-\sum u_k}{\sqrt{B_n^2}}  服从正态分布

    

    

   

收藏（0）
wa0：OpenSSL命令之算法类大全

上一篇

wa0：OpenSSL命令之算法类大全

相关推荐

随机阅读

最新
精选

相关文章