抽象循环：抽象代数（2）

半群和群

介绍：半群理论在20世纪60年代由于它在自动机和形式语言中的应用获得了广泛的重视。而群是抽象代数研究的历史最长和最深入的一类代数系统，群论中的概念和方法是代数研究中的典型方法。

半群的概念

定义1：代数系统 <S,∘> 称为半群，如果对任意 a,b,c∈S ，有 (a∘ b)∘c=(a∘b)∘c ; <S,∘> 称为交换半群，如果对任意的 a,b∈S ，有 a∘b=b∘a .

定义2：若 <S,∘> 是一个半群，并且存在一个元素 e∈S ,有

a∘e=e∘a=a 则 <S,∘，e> 称为一个独异点， e 称为单位元.

定理1：一个独异点<S,∘，e>的单位元是唯一的

例：
<Z,+> ( Z 是全体整数集合，+是普通加法)是一个半群，并且 <Z,+，0> 是一个独异点.

定义3：一个独异点 <S,∘，e> 被称为循环独异点，如果存在一个元 a∈S ，使 S 中的每一个元b可表示为

b=a∘a∘...∘a=an(a0=e) 也说 <S,∘> 由元素 a 生成的，而a称为该循环独异点的生成元.

例：

<{[0],[1],[2],[3]},⊕,[0]> 是一个循环独异点，因为

[2]=[1]⊕[1] [3]=[1]⊕[1]⊕[1] [0]=[1]⊕[1]⊕[1]⊕[1] [1] 是它的生成元.

显然，循环独异点满足交换律，因为对任意 a,b∈S 都有 n,m ，使

a=an0,b=am0 其中 a0 是生成元，而 a∘b=an0∘am0=am0∘an0=b∘a

子半群和半群同态

定义4：设 <S,∘> 是一个半群， <S′,∘> 称为 <S,∘> 的一个子半群，如果
- S′⊆S
- <S′,∘> 是半群

例：
<N,×> （其中 N 是自然数集合，×是普通乘法）是一个半群，设 T={km|k∈N,m是某个固定的正整数} ，显然 T⊂N,<T,×> 是 <N,×> 的子半群.

定义5：设 <S,∗> 和 <T,⊕> 是两个半群，若存在一个映射 ϕ:S→T ，对任意 a,b∈S ，都有

ϕ(a∗b)=ϕ(a)∗ϕ(b) 则称 ϕ 为一个半群同态.

如果半群同态是一一对应的满同态，则称它为半群同构.

定理2: 设 <S,∗> 是半群， <T,⊕> 是一个代数系统.若有一同态满射 ϕ:S→T ，则 <T,⊕> 也是半群.

定理3：设 <S,∗> 与 <T,⊕> 半群满同态，则

- 该半群同态保持运算的可交换性
- 单位元的同态象是T中的单位元

商半群和半群直积分

定义6：设 <S，∗> 是一个半群， R 是其上的一个一致关系，则商代数<S′/R,∘/R>
为 <S，∗> 商半群.

定理5：半群与它的商半群同态.

定义7：设 <S，∗> 和 <T，∘> 是两个半群， <S，∗> 和 <T，∘> 的直积（或笛卡尔乘积）是代数系统

<S×T，∙> 其中 ∙ 定义为对任意 a,b∈S,a^,b^∈T 有 (a,a^)∙(b,b^)=(a∗b,a^∘b^)

定理6：设 <S，∗> ， <T，∘> 是两个交换群.

• 若 <S，∗> 和 <T,∘> 都是可交换半群，则 <S×T，∙> 也是可交换半群.
• 若 <S，∗> 和 <T,∘> 都是以 eS,eT 为单位元的独异点，则 <S×T，∙> 也是独异点，并且它的单位元是 (eS,eT)
• 若 ZS 和 ZT 分别表示 <S，∗> 和 <T,∘> 的零元，则 (ZS,ZT) 是 <S×T，∙> 的零元.
• 若 s∈S,t∈T 都有逆元，则 (s−1,t−1) 是 (s,t) 的逆元.

群的概念

定义8：设 <G，×> 是一个代数系统， <G,×> 称为一个群，如果
- 对任意 x,y,z∈G ,有

x×(y×z)=(x×y)×z （结合律）
- 存在一个元素 e∈G ，对任意 x∈G ，有 x×e=e×x=x （单位元素）
- 对每一个元素 x∈G ，存在一个元素 x−1∈G ，使得 x−1×x=x×x−1=e （逆元素）

定理7：群的单位元唯一.
定理8：对于群 <G,×> 的每一个元 a∈G ，只存在唯一的逆元 a−1∈G ，使

a−1×a=a×a−1=e

定义9：一个群称为有限群，如果它的集合是有限集合.

定义10：一个群称为交换群，如果

a×b=b×a,对任意a,b∈G

定理9：群 <G,×> 的运算 × 满足：
如果 a×x=a×x′,则x=x′ ;
如果 x×a=x′×a,则x=x′ ;

子群和群的同态

定义11：设 <G,×> 是一个群， <S,×> 称为 <G，×> 的一个子群，如果
- S⊆G ;
- S,× 是一个群.

每一个群 <G,×> 至少有两个子群:
- <|e|,×>
- <G,×>
这两个群称为平凡子群,除平凡子群外其他子群都是真子群.

定理10：群 <G,×> 中 G 的一个非空子集S构成子群 <S,×> 的充分条件是：
- 若 a,b∈S ，则 a×b∈S
- 若 a∈S ，则其相应的逆元 a−1∈S .

定理11：群 <G、×> 是一个群， <G^、×^> 是一个代数系统，若 <G、×> 与 <G^、×^> 满同态，则 <G^、×^> 也是一个群.

定义12：设 ϕ 是 <G,×> 到 <G^、×^> 的一个同态映射， {a|a∈G∧ϕ(a)=e^} 称为同态核，并记为 ker(ϕ) .

定理13：群 <G,×> 到 <G^、×^> 的同态 ϕ 的做成的 <ker(ϕ),×> 是 <G，×> 的一个子群.

变换群、置换群循和循环群

定义13：有限集合的一个一一变换称为一个置换，一个有限集合的若干个置换做的群称为置换群.

定理16：每一个有限群都与一个置换群同构.

定义14：若一个群 <G,×> 的每一个元 x 都可以由某一个固定元a∈G表示为 x=an ，其中 n 是整数，则<G,×>称为循环群， a 称为G的生成元，记为 G=<a> .