如图在三角形：如何判断一个点在三角形内部

2024-04-05 06:52:01 0 0

基本思路

三角示例

如图，点P在三角形ABC内部，可以通过以下三个条件判断：

点P和点C在直线AB同侧

点P和点B在直线AC同侧

点P和点A在直线BC同侧

如果以上三个条件同时满足，则点P在三角形ABC内部。

下面将会用到叉乘这个数学工具来确定一个点在直线的哪一侧。

判断点在直线的哪一侧

叉乘是一个判断点在直线哪一侧的数学工具。先看一下叉乘的定义：

a⃗ ×b⃗ =∥a⃗ ∥∥b⃗ ∥sinθn⃗

其中， θ 为向量夹角， n⃗ 是一个向量，与 a⃗ 和 b⃗ 都垂直，方向满足右手螺旋法则，即下图所示：

右手螺旋法则

于是，从第一个向量的方向看，如果第二个向量在左边，那个叉乘是正的，在右边，则是负的，在同一个方向上，则是0.叉乘的大小，则是两个向量组成的平行四边形的面积。

那么叉乘具体如何计算呢？先将x、y、z轴方向的单位向量分别记为 i⃗ 、 j⃗ 和 k⃗ ，则如果有两个向量，分别为：

u⃗ =u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ =(u1,u2,u3)v⃗ =v1i⃗ +v2j⃗ +v3k⃗ =(v1,v2,v3)
则有：
u⃗ ×v⃗ =(u2v3−u3v2)i⃗ +(u3v1−u1v3)j⃗ +(u1v2−u2v1)k⃗
可以用以下行列式来简记：
u⃗ ×v⃗ =∣∣∣∣∣i⃗ u1v1j⃗ u2v2k⃗ u3v3∣∣∣∣∣
如果叉乘的两个向量都是平面向量，则可以看作是第三个分量为0的三维向量。

以下Processing程序可以验证叉乘用于点在直线哪一侧的判断的正确性：

PVector a = new PVector(100, 200);PVector b = new PVector(300, 300);PVector c = PVector.sub(b, a);void setup() { size(400, 400); fill(0);}void draw() { background(255); line(a.x, a.y, b.x, b.y); PVector d = new PVector(mouseX - a.x, mouseY - a.y); String side; if (c.cross(d).z > 0) side = "left"; else if (c.cross(d).z < 0) side = "right"; else side = "on"; text(side, 40, 40);}

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有兴趣的读者也可以把cross方法展开试试。

算法实现

现在算法已经很明显啦！其中有一点小技巧，三角形的三个顶点是转着来的，算一次就行了。比如，在上图中，点C在直线AB左侧，点B在直线CA的左侧，点A在直接BC的左侧。所以，第一步是先计算三角形的方向：

float signOfTrig = (b.x - a.x)*(c.y - a.y) - (b.y - a.y)*(c.x - a.x);

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注意这样一下子写出来不太容易看明白，但是如果看成向量AB和向量AC叉乘之后的Z坐标就好懂的多了。

再分别计算P在AB、CA、BC的哪一侧：

float signOfAB = (b.x - a.x)*(p.y - a.y) - (b.y - a.y)*(p.x - a.x);float signOfCA = (a.x - c.x)*(p.y - c.y) - (a.y - c.y)*(p.x - c.x);float signOfBC = (c.x - b.x)*(p.y - c.y) - (c.y - b.y)*(p.x - c.x);

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最后判断它们是否在同一侧：

boolean d1 = (signOfAB * signOfTrig > 0);boolean d2 = (signOfCA * signOfTrig > 0);boolean d3 = (signOfBC * signOfTrig > 0);println(d1 && d1 && d3);

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这就是所有的算法了！最后来个程序验证一下。

验证程序

PVector[] trig;float r = 150;float t = 0;float interval = 30;void setup() { size(500, 500); trig = new PVector[3]; ellipseMode(CENTER);}void draw() { translate(width/2, height/2); updateTrig(); background(0); stroke(255); line(trig[0].x, trig[0].y, trig[1].x, trig[1].y); line(trig[1].x, trig[1].y, trig[2].x, trig[2].y); line(trig[0].x, trig[0].y, trig[2].x, trig[2].y); noStroke(); for (float i = -width/2 + interval/2; i < width/2; i += interval) { for (float j = -height/2 + interval/2; j < height/2; j += interval) { if (inTrig(i, j)) { fill(255, 0, 0); } else { fill(255); } ellipse(i, j, 2, 2); } } t += 0.5;}void updateTrig() { for (int i = 0; i < 3; i++) trig[i] = new PVector(r * cos(radians(i * 120 + t)), r * sin(radians(i * 120 + t)));}boolean inTrig(float x, float y) { PVector a = trig[0]; PVector b = trig[1]; PVector c = trig[2]; PVector p = new PVector(x, y); float signOfTrig = (b.x - a.x)*(c.y - a.y) - (b.y - a.y)*(c.x - a.x); float signOfAB = (b.x - a.x)*(p.y - a.y) - (b.y - a.y)*(p.x - a.x); float signOfCA = (a.x - c.x)*(p.y - c.y) - (a.y - c.y)*(p.x - c.x); float signOfBC = (c.x - b.x)*(p.y - c.y) - (c.y - b.y)*(p.x - c.x); boolean d1 = (signOfAB * signOfTrig > 0); boolean d2 = (signOfCA * signOfTrig > 0); boolean d3 = (signOfBC * signOfTrig > 0); return d1 && d2 && d3;}