mpc：MPC算法学习(1)

 

目录

一、了解MPC

1.MPC → Model PredictIve Control

2.MPC基本工作原理

二、MPC设计

1.MPC参数设计

2.MPC使用范围

 3.MPC速度优化

三、MPC推导

1.基于单位脉冲响应的公式推导

2.基于状态空间的推导

四、仿真实例

1.SISO系统

2.MIMO系统

3.基于simulink的仿真

 4.车辆横向运动状态空间模型的推导

5.自适应MPC

五、多种MPC类型拓展

1.非线性MPC（nonlinear MPC\NMPC）

2.线性时变MPC（LTV MPC）

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一、了解MPC

1.MPC → Model PredictIve Control

（1）处理对象：输入输出之间有交互作用的多输入多输出系统（MIMO System）

（2）PID 对于该类型系统的局限性：

① 如上图所示，两个回路之间没有交叉，就像二者是相互独立一样

② 如果系统（Plant）足够大，因为调参十分困难

MPC的优势：

① 可以处理多变量问题

② 可以添加约束

e.g.在驾驶时，汽车有期望的轨迹，同时有加速约束

③ 有预览功能（类似前馈），以改善控制器性能

（3）MPC硬件条件

需要功能强大的，内存大的处理器，因为每个时间步骤都需要在线优化问题

2.MPC基本工作原理

以如图的过程为例，期望汽车沿中线运动：

MPC在该过程中的作用如下：
（1）首先，预测一条p步之后可以到达中线的路径（这里有个问题，这个p如何选择呢？选择过少会不会导致无解？过多会不会降低效率？）该过程涉及了汽车模型本身的使用。

显然这种路径有无穷多条，我们选择“代价（cost）"最小的一条，该过程由优化器（optimizer）完成。对于这种情况，对应的cost包括：

① 汽车在此p步中，每一步的位置都会与中线有一个相对应的偏差值，我们想要这个偏差值之和最小

② 汽车每一次的打舵量要尽可能的小，否则会让乘客十分不舒服，即打舵量之和应该也最小

综上，应该让二者加权和最小，即：

（4）在新的起点重复以上过程，下一次预测的结果可能与上次的预测不同，因为可能有干扰的存在（风，湿滑的路面）

根据上述过程，我们可知，我们每次运动后都在预测未来p步的路径，因此我们所谓的”预测视界“是向前运动的，因此MPC也被称为后退视界控制。

二、MPC设计

1.MPC参数设计

 （1）基本参数

① 采样时间

③ 控制范围：控制移动到时间步长m的次数

步长m较大时，可以获得更好的预测，但是会增加复杂性，我们甚至可以是控制范围与预测范围相同，但是一般只有前几个控制动作才对输出行为有影响，因此控制范围最好是预测范围的10%到20%，至少2-3步

进一步理解：

假如”我“是一个学生，“我”的能力对于导师而言是完全可知的，在工程上，就是”我“的模型是完全可知的，导师会给我安排学习任务，假如导师在知道我能力的情况下做好了未来七天的计划（预测范围），但是只给我安排了五天的学习任务（控制范围），但在我完成一天学习后，我可能超额完成任务，也可能不达标（外界干扰导致没有达到预测结果），因此我只完成被安排的学习任务的第一天的任务，在此之后，导师再次制定七天之后的计划，并给我安排下五天的计划。长此以往，导师发现，制定七天的任务太多了，会浪费他宝贵的时间，因此之后改为制定五天计划，安排三天计划。

④ 硬约束和软约束：硬约束必须服从，软约束不一定服从，如果全是硬约束，比如输入输出全部采用硬约束，那么可能会导致无法解决优化问题

软约束可以通过优化问题保证违反程度较小

⑤ 权重：

通过权衡来衡量竞争目标之间的权重（如输入和输出有不同权重）

同时，对于同一个组，我们可以对不同的成员分配权重（如第一输出和第二输出有不同权重）

2.MPC使用范围

（1）线性系统，线性约束条件，有二次cost函数→ 可以使用线性MPC

（2）非线性系统，同样可以使用线性MPC，原理是线性化

         如：在自适应MPC中，随着运行条件变化，工作点也变化，因此可以动态地在工作点附近进行线性化，从而动态获得线性模型

注：对于自适应MPC，在不同运行条件下，状态数和约束数不会改变

如果随着操作条件变化，状态数改变：使用增益预定MPC，在感兴趣的工作点进行离线显性化，针对每个工作点设计线性

（3）如果非线性系统难以进行线性化，可以使用非线性MPC，此时做出的预测更加准确，但同时，优化问题变得不凸，即可能有很多局部最优解，如图：

 3.MPC速度优化

I.（1）模型简化，可以减少状态数量

（2）预测范围适当减小

（3）控制范围适当减小

（4）减少约束数量

（5）降低数据表示精度

II.当采样时间特别小时，可以采用显式MPC（Implicit MPC）

显式MPC特点：离线解决问题，而不是在线优化，对于范围内每个x值，都预先计算最佳解，

III. 采用次优解决方案

 如果想在采样时间内找到解决方案，同时还有多余时间执行其他任务，可以确定迭代次数最大值，当达到最大次数时，停止最优化

三、MPC推导

1.基于单位脉冲响应的公式推导

步骤：

（1）确定模型

（2）进行预测

（3）滚动优化

（4）误差补偿

对于模型已知的系统，其单位脉冲响应在每个采样时刻都是可知的，根据离散卷积定理，此时输出可以用输入和单位脉冲响应的卷积计算

 假设在k+1时刻开始输入信号，对等式两侧进行差分，则在k+1时刻及其后，有：

 最后进行误差补偿：

假如在k时刻，我们获得了之后p个时刻的预测值：

可能看到这里有点乱，我其实一开始也乱了，但是这里捋顺一下思路就好了，乱的原因主要是变量太多，难以区分。

总结：整体的思路是这样的：

我们首先对于这个模型的单位脉冲响应已经得知，那么我们可以获得矩阵A，根据卷积定理，我们可以获得输入变化量，输出变化量，输出初态的关系，即：

若我们设

 其实从系统A矩阵可以看出，该系统特征值在单位圆外面，所以肯定是发散的

对于单输入系统，加入MPC后，结果如下：

可见加入MPC控制后，系统收敛了，MPC的确起到了状态反馈的作用，使得新的闭环系统的极点处于单位圆内。

如果提高

如果提高输入的权重，结果如下：

 显然状态空间衰减变慢

如果期望值不是0，如期望

改变目标值的本质原理如下：

一般情况下，对于状态空间

 综上，SISO系统MPC控制代码如下：

mpc_sim.m

clear;clc;A=[1 0.1;0 2];B=[0;0.5];%x=Ax0+BuQ=[2 0;0 1];%weight of error cost functionF=[1 0;0 1];%weight of error cost function(last step)R=[0.1]; %weight of input cost functionn=size(A,1);%the dimension of the state spacep=size(B,2);%the dimension of input vectork_step=100;%steps of my state space X_k=zeros(n,k_step);%set state space vectorX_d=zeros(n,k_step);X_k(:,1)=[20;-20];%initialization of the state space U_k=zeros(p,k_step);%set input vector N=5; %prediction horizonbasic = eye(n);[E,H]=Cal_matrix(A,B,Q,R,F,N);X_expect=[70;0];for k = 1:k_step X_d(:,k)=X_k(:,k)-X_expect; U_k(:,k)=Prediction(X_d(:,k),E,H,N,p);%with k adding,the initial value of %X_k also changes,so this is what is called recursive optimization X_d(:,k+1)=A*X_d(:,k)+B*U_k(:,k);%recursion of state space X_k(:,k+1)=X_d(:,k+1)+X_expect;end subplot(2,1,1);for i= 1 :size(X_k,1) plot(X_k(i,:)); hold onend legend("x1 x2");hold on;subplot(2,1,2);for i =1:size(U_k,1) plot (U_k(i,:));endlegend("u");

Cal_matrix.m

function [E,H]=Cal_matrix(A,B,Q,R,F,N)n=size(A,1);p=size(B,2);M=[eye(n);zeros(N*n,n)];C=zeros((N+1)*n,N*p);temp=eye(n);for i = 1:N rows=i*n+(1:n); %this mean from which lines should we start at this step, %for each matrix has not a single row,we use 'i*n',it starts from n+1 C(rows,:)=[temp*B,C(rows-n,1:end-p)]%"rows-n,1:end-p"means using the %elements of last step,end -p equals to let out a place for 'temp*B' temp=A*temp; M(rows,:)=temp;endQ_bar=kron(eye(N),Q);%in order to make a diagonal matrix with Q% as its diagonal elementsQ_bar=blkdiag(Q_bar,F);R_bar=kron(eye(N),R);G=M'*Q_bar*M;E=C'*Q_bar*M;H=C'*Q_bar*C+R_bar;end

prediction.m

function u_k=Prediction(x_k,E,H,N,p)U_k=zeros(N*p,1);U_k=quadprog(H,E*x_k);u_k=U_k(1:p,1);%only use the first stepend

另外，令该系统跟踪圆形轨迹，结果如下:

 

主函数对应如下：

clear;clc;A=[0.3 0;0 1];B=[0;0.5];%x=Ax0+BuQ=[1 0;0 1];%weight of error cost functionF=[1 0;0 1];%weight of error cost function(last step)R=[0.1]; %weight of input cost functionn=size(A,1);%the dimension of the state spacep=size(B,2);%the dimension of input vectork_step=1000;%steps of my state space X_k=zeros(n,k_step);%set state space vectorX_d=zeros(n,k_step);X_k(:,1)=[20;-20];%initialization of the state space U_k=zeros(p,k_step);%set input vector N=5; %prediction horizonbasic = eye(n);[E,H]=Cal_matrix(A,B,Q,R,F,N);X_expect=zeros(n,k_step);for k = 1:k_step X_expect=[10*cos(360/k_step*k)+10;10*sin(360/k_step*k)-5]; X_d(:,k)=X_k(:,k)-X_expect; U_k(:,k)=Prediction(X_d(:,k),E,H,N,p);%with k adding,the initial value of %X_k also changes,so this is what is called recursive optimization X_d(:,k+1)=A*X_d(:,k)+B*U_k(:,k);%recursion of state space X_k(:,k+1)=X_d(:,k+1)+X_expect;end figure(1)subplot(2,1,1);for i= 1 :size(X_k,1) plot(X_k(i,:)); hold onend legend("x1 x2");hold on;subplot(2,1,2);for i =1:size(U_k,1) plot (U_k(i,:));endlegend("u");hold on;figure(2);plot(X_k(1,:),X_k(2,:),'r')hold on;X_exp_vec=zeros(n,k_step);for k = 1:k_step X_exp_vec(:,k)=[10*cos(360/k_step*k)+10;10*sin(360/k_step*k)-5];endplot(X_exp_vec(1,:),X_exp_vec(2,:),'g')legend("track","reference");

2.MIMO系统

对于MIMO系统：

3.基于simulink的仿真

在simulink中使用mpc controler搭建框图如下：

搭建教程： 【Model Predictive Control】了解模型预测控制，第六部分：如何使用 Simulink 和模型预测控制工具箱设计 MPC 控制器_哔哩哔哩_bilibili

给定约束：

① 方向盘物理转角不得超过30°

② 为了保证舒适度，方向盘变化率不得超过15°/s

在此条件下，仿真结果如图：

 在预测范围为10，控制范围为2时，结果如下：

如果将prediction horizon变大，结果如下：

 

超调此时减小了，但是预测范围太大可能会造成算力的浪费

 

将控制范围变大，可见跟踪效果更好，跟踪曲线更接近reference

 

然而，进一步提高控制范围，发现结果变化并不大，所以我们一般取预测范围的20%-30%就可以了 

当速度提升至35时，结果如下：

可见跟踪效果并不好，所以我们最好添加自适应MPC（adaptive MPC）

 4.车辆横向运动状态空间模型的推导

这里就必须要提及著名的自行车模型

自行车模型的条件如下：
① 车辆做平面运动

② 左右前轮的转向角近似相等

③ 忽略轮胎收到的侧向力

④ 忽略前后轴荷载的转移

⑤ 车身和悬架系统是刚性的

其中②  ③限制了车体必须是低速运动的

 我们选择状态变量：

x,y:车辆在绝对坐标系的位置

v：车辆的速度大小

假如这是一辆车，则有：

 对于侧向，有：

而侧向加速度包括运动加速度和向心加速度

对车轮进行受力分析，车轮受侧向力（风吹，提供离心力的摩擦）和纵向力（摩擦，牵引），二者可以合成为车体的横向力 

 侧偏力和侧偏角关系如图：

 在侧偏角较小时，可以认为：

这个我没做出来，因为属实不知道怎么改这个plant，所以直接截图了

更改

 可见MPC的确可以根据不同的模型，不同的条件进行自适应控制

五、多种MPC类型拓展

1.非线性MPC（nonlinear MPC\NMPC）

参考文献：

[PDF] MPC-Based Approach to Active Steering for Autonomous Vehicle Systems | Semantic Scholar

2.线性时变MPC（LTV MPC）

面对非线性模型，我们一般有两个思路：

一个是直接采用非线性模型，对原来模型直接进行控制

另一个是对模型进行连续的在线线性化

3.Explicit MPC（显式MPC）

参考文献

显式预测控制（Explicit MPC）_dymodi的博客-CSDN博客_显式模型预测控制