拐点博客：曲线的凹凸性与拐点

一个函数在上升或下降的过程中，常常会有一个弯曲方向的问题，例如：虽然同为上升函数，但弯曲方向的不同使它们看起来有显著的区别

下面给出曲线凹凸性的定义:
设 f(x) 在区间 I 上连续，如果对I上任意两点 x1,x2 恒有

如果函数f(x)在 I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的正负来判定曲线的凹凸性，由此可以推导出曲线凹凸性的判定定理：
设f(x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内具有一阶和二阶导数，那么
(1)若在 (a,b) 内 f′′(x)>0 ，则 f(x) 在 [a,b] 上的图形是凹的；
(2)若在 (a,b) 内 f′′(x)<0 ，则 f(x) 在 [a,b] 上的图形是凸的

拐点的定义：
设 y=f(x) 在区间 I 上连续，x0是 I 内的点.如果曲线y=f(x)在经过点 (x0,f(x0)) 时，曲线的凹凸性(函数二阶导的符号)改变了，那么就称点 (x0,f(x0)) 为这曲线的拐点(反曲点).

需要明确的是：拐点是曲线上的一点，它有横坐标和纵坐标，不要只把横坐标当成拐点.

要寻找拐点，只要找出 f′′(x) 符号发生变化的分界点即可，也就是找出 f′(x) 单调增减区间发生变化的分界点即可.因此，如果 f(x) 在区间(a, b)内具有二阶导，那么在这样的分界点处必有 f′′(x)=0 ；除此之外， f(x) 的二阶导数不存在的点，也可能是 f′′(x) 的符号发生变化的分界点。