色度学：几何光学学习笔记（35）- 7.6 CIE标准色度学系统

2024-05-02 15:51:23 0 0

几何光学学习笔记（35）- 7.6 CIE标准色度学系统

7.6 CIE标准色度学系统
- 1. 1931CIE---GRB系统
- - 1.1 莱特实验
  - 1.2 吉尔德实验
- 2. 1931CIE-XYZ系统
- - 2.1 XYZ系统三原色的选择
  - 2.2 CIE1931 标准色度观察者光谱三剌激值
- 3. 1931 CIE-XYZ色品图
- 4.光源色和物体色的三剌激值
- 5.表示颜色特征的两个量：主波长和颜色纯度
- - 5.1 主波长和补色波长
  - 5.2 颜色纯度
- 6. CIE1964补充标准色度学系统
- 7.CIE色度学系统表示颜色的方法
- - 7.1用三刺激值表示颜色
  - 7.2用色品坐标 x， y以及 Y剌激值表示颜色

可以使用Matlab绘制1931CIE色品图并在上边标出样品点。参考下面的文章：
https://blog.csdn.net/Carifee/article/details/119153493

7.6 CIE标准色度学系统

国际照明委员会(英文缩写为 CIE) 曾推荐了几种色度学系统，以统一颜色的表示方法和测量条件。国际照明委员会在 1931年同时推荐了两套标准色度学系统: 1931CIE-RGB系统和 1931CIE-XYZ系统。现介绍如下：

1. 1931CIE—GRB系统

CIE规定该系统用红（R): λ = 700 nm，绿(G):λ= 546.1 nm，蓝(B): λ = 435.8 nm三种光谱色为三原色。用此三原色匹配等能白光 (E光源)的三剌激值相等。三原色光（R)(G)(B)单位剌激值的光亮度比为1.0000:4.5907:0.0601；辐亮度比为72.0962: 1.3791: 1.0000。光谱三剌激值 r ˉ ( l ) , g ˉ ( I ) , b ˉ ( l ) \bar{r}(l), \bar{g}(I) ,\bar{b} (l) rˉ(l),gˉ(I),bˉ(l)是以莱特与吉尔德两组实验数据为基础确定的。

1.1 莱特实验

莱特以波长为 650nm (红)、 540nm (绿)、 460nm (蓝)的光谱色为三原色，由 10名观察者用如上图所示的仪器对各光谱色进行匹配，确定光谱色的色品坐标。三原色光分别用三个全反射棱镜 P R , P G , P B P_{R},P_{G},P_{B} PR,PG,PB取自色散棱镜 P D P_{D} PD 分光后的谱面上对应的（R), (G), (B)三色光， T R , T G , T B T_{R},T_{G},T_{B} TR,TG,TB分别为（R), (G), (B)三色光滤色玻璃制成的光楔，其沿谱面的位置变化可调节由三个全反射棱镜反射回来的三色光的比例。被匹配的光谱色是由反射棱镜 P M P_{M} PM 取自另一个谱面。适当地调整全反射棱镜 P R , P G , P B 和 P M P_{R},P_{G},P_{B}和P_{M} PR,PG,PB和PM的位置，使混合色光和被匹配色光分别投射在视场的两半部分，以便于观测比较。图中，M为半透半反镜， L 1 , L 2 L_{1},L_{2} L1,L2为两相同准直镜, P V P_{V} PV 为输入白光和输出混合色光及被匹配色光的棱镜组。

在实验中，只规定相等数量的红和绿剌激值匹配出波长为 582.5 nm 的黄色光，相等数量的绿和蓝剌激值匹配出波长为 494.0nm的蓝绿色品。但没有明确三剌激值的单位，只是测定了各光谱色的色品坐标 r(l ), g(l)和 b(l) 。对10名观察者实验数据取平均值作为各光谱色色品坐标。

1.2 吉尔德实验

吉尔德实验选择的波长分别为 630nm (红)、 540nm(绿)、 460nm (蓝)的光谱色为三原色，由 7名观察者用与莱特不同的实验装置在 2°视场范围内实现了类似的实验。实验中规定:用此三原色匹配英国国家物理实验室的 NPL(The National Physical Laboratory)白色三剌激值相等。取 7名观察者实验数据的平均值作为最后结果。

把莱特和吉尔德测得的两组数据均通过色品坐标的转换，即转换为红（R):l = 710 nm，绿（G):l = 546.1 nm，蓝（B):l = 438.5 nm三原色系统的色品数据，并取平均值，求出 1931CIE–RGB系统的光谱色品坐标，并根据等能自光 (E光源)三剌激值相等的规定，可求出 1931CIE-RGB系统的光谱三剌激值。这组数据叫做 1931CIE–RGB 系统标准色度观察者三剌激值。下图左表示这组数据随波长变化的曲线。下图右1931CIE-RGB系统色品图，各光谱色的色品点形成的一条马蹄形曲线叫做光谱色品轨迹。

2. 1931CIE-XYZ系统

由(R），(G)，（B)三原色匹配等能光谱色，有的三剌激值为负值。这不易于理解和计算，因此 CIE 同时又推荐了 1931CIE-XYZ色度学系统。

2.1 XYZ系统三原色的选择

1931CIE-XYZ系统的三原色选择的要求是:第一、用三原色匹配等能的光谱色时，三剌激值均为正；第二、色品图上表示的实际不存在的颜色所占的面积尽量小；第三、用 Y剌激值表示颜色的亮度。

为达到第一和第二两个要求，(X），(Y)，（Z)三原色对 1931CIE-RGB色品图上色品点所形成的颜色三角形应包含全部光谱色品轨迹，且使三角形内光谱色品轨迹的外面部分的面积为最小。为此需要做到:

第一、以光谱色品轨迹上波长为 700nm和 540nm两色品点的连线为(X)(Y)(Z)三角形的(X)(Y)边，该直线的方程为:
r + 0.99 g − 1 = 0 − − − − ( 1 ) r+0.99g-1=0----(1) r+0.99g−1=0−−−−(1)
第二、在光谱色品轨迹斜上方的波长为 503nm的色品点作一个方程为:
1.45 r + 0.55 g + 1 = 0 − − − − ( 2 ) 1.45r+0.55g+1=0----(2) 1.45r+0.55g+1=0−−−−(2)
的直线作为三原色三角形的(Y)(Z)边。

为了满足前述第三个要求，即用 Y剌激值表示颜色的亮度。取无亮度线作为三原色三角形的(X)(Z)边。下面先导出无亮度线的方程。在 1931CIE-RGB系统中，三原色量相等时，其光亮度比为:
Y ( R ) : Y ( G ) : Y （ B ) = 1.0000 : 4.5907 : 0.0601 Y(R):Y(G):Y（B)=1.0000:4.5907:0.0601 Y(R):Y(G):Y（B)=1.0000:4.5907:0.0601
若颜色©的三刺激值分别为 R，G，B ，其相对亮度 Y C Y_{C} YC可表示为
Y C = R + 4.5907 G + 0.0601 B Y_{C}=R + 4.5907G + 0.0601B YC=R+4.5907G+0.0601B
等号两边各除以 R+G+B ，得:
Y C R + G + B = r + 4.5907 g + 0.0601 b {Y_{C}\over{R+G+B}}=r + 4.5907g + 0.0601b R+G+BYC=r+4.5907g+0.0601b
无亮度线的条件是 Y C = 0 Y_{C}=0 YC=0， RGB色品图上无亮度线方程显然应为
r + 4.5907 g + 0.0601 b = 0 r + 4.5907g + 0.0601b=0 r+4.5907g+0.0601b=0
考虑到 b= 1- r- g，则有:
0.9399 r + 4.5306 g + 0.0601 = 0 − − − − ( 3 ) 0.9399r + 4.5306g + 0.0601=0----(3) 0.9399r+4.5306g+0.0601=0−−−−(3)
可方便地得到线(X)(Y)与线(X)(Z)的交点就是(X)原色的色品点，其在 RGB系统中的色品坐标可由(1)(3)联立求解。线(X)(Y)与线(X)(Z)的交点为(Y)原色的色品点，其在 RGB系统中的色品坐标可由式(1)和式(3)联立求解。线(Y)(Z)功与线(X)(Z)写的交点为(Z)原色的色品点，其在 RGB系统中的色品坐标可由式(1)和式(2)联立求解。最后得(X），(Y)，（Z)三原色在 RGB系统中的色品坐标为，如上图右：

2.2 CIE1931 标准色度观察者光谱三剌激值

(X），(Y)，（Z)三原色在 RGB系统色品图上的相应色品点均在光谱色品轨迹包围的范围之外。实际上不可能有比光谱色更饱和的颜色，因此，(X），(Y)，（Z)作为色度学系统的三原色是有意义的，但实际上并不存在这三种颜色。 XYZ系统的光谱三刺激值也无法通过颜色匹配实验直接得到，而是以 1931ClE-RGB系统光谱色品坐标值换算求得的，其换算过程将在下面讨论。

(1) 不同色度学系统之间的坐标转换
对应于一组三原色就有相应的光谱三刺激值。三原色不是唯一的，选择不同的三原色，将构成不同的色度学系统。在一定条件下，不同色皮学系统中表示颜色的坐标可相互转换。
①三刺激值的转换公式
1931 年在国际光照大会上，与批准以红®、绿(G)、蓝(B)为三原色的 RGB系统的同时，接受和推荐了 XYZ系统。两个系统之间有以下关系：
{ ( X ) = a 11 ( R ) + a 12 ( G ) + a 13 ( B ) ( Y ) = a 21 ( R ) + a 22 ( G ) + a 23 ( B ) ( Z ) = a 31 ( R ) + a 32 ( G ) + a 33 ( B ) − − − − ( 4 ) \begin{cases} (X)=a_{11}(R)+a_{12}(G)+a_{13}(B)\\ (Y)=a_{21}(R)+a_{22}(G)+a_{23}(B)\\ (Z)=a_{31}(R)+a_{32}(G)+a_{33}(B)\\ \end{cases}----(4) ⎩⎪⎨⎪⎧(X)=a11(R)+a12(G)+a13(B)(Y)=a21(R)+a22(G)+a23(B)(Z)=a31(R)+a32(G)+a33(B)−−−−(4)
式中， a 11 , a 12 , a 13 ; a 21 , a 22 , a 23 ; a 31 , a 32 , a 33 ; a_{11},a_{12},a_{13};a_{21},a_{22},a_{23};a_{31},a_{32},a_{33}; a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33;分别为用 RGB系统表示 XYZ系统兰原色的三刺激值。
分别用 RGB和 XYZ系统表示同一种颜色©:
{ ( C ) = R ( R ) + G ( G ) + B ( B ) ( C ) = X ( X ) + X ( Y ) + Z ( Z ) \begin{cases} (C)=R(R)+G(G)+B(B)\\ (C)=X(X)+X(Y)+Z(Z)\\ \end{cases} {(C)=R(R)+G(G)+B(B)(C)=X(X)+X(Y)+Z(Z)
则有 R ( R ) + G ( G ) + B ( B ) = X ( X ) + X ( Y ) + Z ( Z ) − − − − ( 5 ) R(R)+G(G)+B(B)=X(X)+X(Y)+Z(Z)----(5) R(R)+G(G)+B(B)=X(X)+X(Y)+Z(Z)−−−−(5)
将（4）代入（5）中整理得到：
R ( R ) + G ( G ) + B ( B ) = ( a 11 + a 21 + a 31 ) ( R ) + ( a 12 + a 22 + a 32 ) ( G ) + ( a 13 + a 23 + a 33 ) ( B ) R(R)+G(G)+B(B)=(a_{11}+a_{21}+a_{31})(R)+(a_{12}+a_{22}+a_{32})(G)+(a_{13}+a_{23}+a_{33})(B) R(R)+G(G)+B(B)=(a11+a21+a31)(R)+(a12+a22+a32)(G)+(a13+a23+a33)(B)
可得：
{ R = a 11 X + a 21 Y + a 31 Z G = a 12 X + a 22 Y + a 32 Z B = a 13 X + a 23 Y + a 33 Z − − − − ( 6 ) \begin{cases} R=a_{11}X+a_{21}Y+a_{31}Z\\ G=a_{12}X+a_{22}Y+a_{32}Z\\ B=a_{13}X+a_{23}Y+a_{33}Z \end{cases}----(6) ⎩⎪⎨⎪⎧R=a11X+a21Y+a31ZG=a12X+a22Y+a32ZB=a13X+a23Y+a33Z−−−−(6)
或写为矩阵形式：
[ R G B ] = [ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ] [ X Y Z ] \begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} &a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix} ⎣⎡RGB⎦⎤=⎣⎡a11a12a13a21a22a23a31a32a33⎦⎤⎣⎡XYZ⎦⎤
可以求得：
[ X Y Z ] = [ b 11 b 21 b 31 b 12 b 22 b 32 b 13 b 23 b 33 ] [ R G B ] \begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{11} &b_{21}&b_{31}\\b_{12}&b_{22}&b_{32}\\b_{13}&b_{23}&b_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix} ⎣⎡XYZ⎦⎤=⎣⎡b11b12b13b21b22b23b31b32b33⎦⎤⎣⎡RGB⎦⎤
或
{ X = b 11 R + b 21 G + b 31 B Y = b 12 R + b 22 G + b 32 B Z = b 13 R + b 23 G + b 33 B − − − − ( 7 ) \begin{cases} X=b_{11}R+b_{21}G+b_{31}B\\ Y=b_{12}R+b_{22}G+b_{32}B\\ Z=b_{13}R+b_{23}G+b_{33}B \end{cases}----(7) ⎩⎪⎨⎪⎧X=b11R+b21G+b31BY=b12R+b22G+b32BZ=b13R+b23G+b33B−−−−(7)
②色品坐标的转换公式
RGB和 XYZ两个系统的色品坐标为:
r = R R + G + B ; g = G R + G + B ; b = B R + G + B − − − − ( 8 ) r={{R}\over{R+G+B}};g={{G}\over{R+G+B}};b={{B}\over{R+G+B}}----(8) r=R+G+BR;g=R+G+BG;b=R+G+BB−−−−(8)
x = X X + Y + Z ; y = Y X + Y + Z ; z = Z X + Y + Z − − − − ( 9 ) x={{X}\over{X+Y+Z}};y={{Y}\over{X+Y+Z}};z={{Z}\over{X+Y+Z}}----(9) x=X+Y+ZX;y=X+Y+ZY;z=X+Y+ZZ−−−−(9)
将式(6)代入式(8),并考虑式(9). 得：
{ r = a 11 x + a 21 y + a 31 z ( a 11 + a 12 + a 13 ) x + ( a 21 + a 22 + a 23 ) y + ( a 31 + a 32 + a 33 ) z g = a 12 x + a 22 y + a 32 z ( a 11 + a 12 + a 13 ) x + ( a 21 + a 22 + a 23 ) y + ( a 31 + a 32 + a 33 ) z b = a 13 x + a 23 y + a 33 z ( a 11 + a 12 + a 13 ) x + ( a 21 + a 22 + a 23 ) y + ( a 31 + a 32 + a 33 ) z − − − − ( 10 ) \begin{cases} r={{a_{11}x+a_{21}y+a_{31}z}\over{(a_{11}+a_{12}+a_{13})x+(a_{21}+a_{22}+a_{23})y+(a_{31}+a_{32}+a_{33})z}}\\ g={{a_{12}x+a_{22}y+a_{32}z}\over{(a_{11}+a_{12}+a_{13})x+(a_{21}+a_{22}+a_{23})y+(a_{31}+a_{32}+a_{33})z}}\\ b={{a_{13}x+a_{23}y+a_{33}z}\over{(a_{11}+a_{12}+a_{13})x+(a_{21}+a_{22}+a_{23})y+(a_{31}+a_{32}+a_{33})z}} \end{cases}----(10) ⎩⎪⎨⎪⎧r=(a11+a12+a13)x+(a21+a22+a23)y+(a31+a32+a33)za11x+a21y+a31zg=(a11+a12+a13)x+(a21+a22+a23)y+(a31+a32+a33)za12x+a22y+a32zb=(a11+a12+a13)x+(a21+a22+a23)y+(a31+a32+a33)za13x+a23y+a33z−−−−(10)
把式(7)代入式(9). 并考虑到式(8). 得:
{ x = b 11 r + b 12 g + b 13 b ( b 11 + b 21 + b 31 ) r + ( b 12 + b 22 + b 32 ) g + ( b 13 + b 23 + b 33 ) b y = b 21 r + b 22 g + b 23 b ( b 11 + b 21 + b 31 ) r + ( b 12 + b 22 + b 32 ) g + ( b 13 + b 23 + b 33 ) b z = b 31 r + b 32 g + b 33 b ( b 11 + b 21 + b 31 ) r + ( b 12 + b 22 + b 32 ) g + ( b 13 + b 23 + b 33 ) b − − − − ( 11 ) \begin{cases} x={{b_{11}r+b_{12}g+b_{13}b}\over{(b_{11}+b_{21}+b_{31})r+(b_{12}+b_{22}+b_{32})g+(b_{13}+b_{23}+b_{33})b}}\\ y={{b_{21}r+b_{22}g+b_{23}b}\over{(b_{11}+b_{21}+b_{31})r+(b_{12}+b_{22}+b_{32})g+(b_{13}+b_{23}+b_{33})b}}\\ z={{b_{31}r+b_{32}g+b_{33}b}\over{(b_{11}+b_{21}+b_{31})r+(b_{12}+b_{22}+b_{32})g+(b_{13}+b_{23}+b_{33})b}} \end{cases}----(11) ⎩⎪⎨⎪⎧x=(b11+b21+b31)r+(b12+b22+b32)g+(b13+b23+b33)bb11r+b12g+b13by=(b11+b21+b31)r+(b12+b22+b32)g+(b13+b23+b33)bb21r+b22g+b23bz=(b11+b21+b31)r+(b12+b22+b32)g+(b13+b23+b33)bb31r+b32g+b33b−−−−(11)
(2) 1931CIE-RGB 系统和 1931CIE-XYZ 系统的色品坐标间的转换
具体过程为：
① 1931CIE-RGB系统标准色度观察者光谱三刺激值求各光谱色的 RGB系统色品坐标:
{ r ( l ) = r ˉ ( l ) r ˉ ( l ) + g ˉ ( l ) + b ˉ ( l ) g ( l ) = g ˉ ( l ) r ˉ ( l ) + g ˉ ( l ) + b ˉ ( l ) b ( l ) = b ˉ ( l ) r ˉ ( l ) + g ˉ ( l ) + b ˉ ( l ) − − − − ( 12 ) \begin{cases} r(l)={{\bar{r}(l)}\over{\bar{r}(l)+\bar{g}(l)+\bar{b}(l)}}\\ \\ g(l)={{\bar{g}(l)}\over{\bar{r}(l)+\bar{g}(l)+\bar{b}(l)}}\\ \\ b(l)={{\bar{b}(l)}\over{\bar{r}(l)+\bar{g}(l)+\bar{b}(l)}}\\ \end{cases}----(12) ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧r(l)=rˉ(l)+gˉ(l)+bˉ(l)rˉ(l)g(l)=rˉ(l)+gˉ(l)+bˉ(l)gˉ(l)b(l)=rˉ(l)+gˉ(l)+bˉ(l)bˉ(l)−−−−(12)
②上式求得的 r(I)，g (l), b(l)代入式（11）求出各光谱色在 1931CIE-XYZ 系统中的色品坐标 x(l)， y(I) , z(l).
引用式(11）时，必须先确定 9个系数： b 11 , b 12 , b 13 ; b 21 , b 22 , b 23 ; b 31 , b 32 , b 33 ; b_{11},b_{12},b_{13};b_{21},b_{22},b_{23};b_{31},b_{32},b_{33}; b11,b12,b13;b21,b22,b23;b31,b32,b33; 由式(11)可知，各系数放大或缩小相同倍数对最后 x(I) ， y(I) , z(l)的数值无影响。因此，可对其中某一系数 b i j b_{ij} bij任给一个值，再确定其他 8 个系数。其方法是根据己知 r ， g；x ， y 的 4种颜色按式(11）建立 8个只包含 8个未知系数 b的方程。这 4种颜色及它们的 r ，g； x ， y 值如下：

按上述方法可得一组实用色品坐标转换公式：

{ r ( l ) = 0.49000 r ( l ) + 0.31000 g ( l ) + 0.20000 b ( l ) 0.66697 r ( l ) + 1.13240 g ( l ) + 1.20063 b ( l ) g ( l ) = 0.17607 r ( l ) + 0.81240 g ( l ) + 0.01063 b ( l ) 0.66697 r ( l ) + 1.13240 g ( l ) + 1.20063 b ( l ) b ( l ) = 0.17607 r ( l ) + 0.81240 g ( l ) + 0.01063 b ( l ) 0.66697 r ( l ) + 1.13240 g ( l ) + 1.20063 b ( l ) − − − − ( 13 ) \begin{cases} r(l)={{0.49000r(l)+0.31000g(l)+0.20000b(l)}\over{0.66697r(l)+1.1 3240g(l)+1.20063b(l)}}\\ \\ g(l)={{0 .17607r(l) + 0.81240g(l) + 0.01 063b(l)}\over{0.66697r(l)+1.1 3240g(l)+1.20063b(l)}}\\ \\ b(l)={{0 .17607r(l) + 0.81240g(l) + 0.01 063b(l)}\over{0.66697r(l)+1.1 3240g(l)+1.20063b(l)}}\\ \end{cases}----(13) ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧r(l)=0.66697r(l)+1.13240g(l)+1.20063b(l)0.49000r(l)+0.31000g(l)+0.20000b(l)g(l)=0.66697r(l)+1.13240g(l)+1.20063b(l)0.17607r(l)+0.81240g(l)+0.01063b(l)b(l)=0.66697r(l)+1.13240g(l)+1.20063b(l)0.17607r(l)+0.81240g(l)+0.01063b(l)−−−−(13)
(3) 1931CIE-XYZ 系统光谱三刺激值的确定
在 1931CIE-XYZ系统中，颜色的亮度完全由 Y剌激值表示，则等能光谱色相对亮度也应由光谱三刺激值中的 y ˉ ( l ) \bar{y}(l) yˉ(l)来代表。这样， y ˉ ( l ) \bar{y}(l) yˉ(l)值就同光度学中明视觉(光谱光视效率或视见函数)V(I )具有相同的含义。 CIE规定了:
y ˉ ( l ) = V ( l ) \bar{y}(l)=V(l) yˉ(l)=V(l)
三刺激值与色品位坐标之间的关系：
{ x ( l ) = x ˉ ( l ) x ˉ ( l ) + y ˉ ( l ) + z ˉ ( l ) y ( l ) = y ˉ ( l ) x ˉ ( l ) + y ˉ ( l ) + z ˉ ( l ) z ( l ) = z ˉ ( l ) x ˉ ( l ) + y ˉ ( l ) + z ˉ ( l ) − − − − ( 14 ) \begin{cases} x(l)={{\bar{x}(l)}\over{\bar{x}(l)+\bar{y}(l)+\bar{z}(l)}}\\ \\ y(l)={{\bar{y}(l)}\over{\bar{x}(l)+\bar{y}(l)+\bar{z}(l)}}\\ \\ z(l)={{\bar{z}(l)}\over{\bar{x}(l)+\bar{y}(l)+\bar{z}(l)}}\\ \end{cases}----(14) ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x(l)=xˉ(l)+yˉ(l)+zˉ(l)xˉ(l)y(l)=xˉ(l)+yˉ(l)+zˉ(l)yˉ(l)z(l)=xˉ(l)+yˉ(l)+zˉ(l)zˉ(l)−−−−(14)
其第二式可写为
x ˉ ( l ) + y ˉ ( l ) + z ˉ ( l ) = y ˉ ( l ) y ( l ) = V ( l ) y ( l ) − − − − − ( 15 ) \bar{x}(l)+\bar{y}(l)+\bar{z}(l)={{\bar{y}(l)}\over{y(l)}}={{V(l)}\over{y(l)}}-----(15) xˉ(l)+yˉ(l)+zˉ(l)=y(l)yˉ(l)=y(l)V(l)−−−−−(15)
将（15）代入（14）的第一、三两式可得：
{ x ˉ ( l ) = V ( l ) y ( l ) x ( l ) z ˉ ( l ) = V ( l ) y ( l ) z ( l ) − − − − ( 16 ) \begin{cases} \bar{x}(l)={{V(l)}\over{y(l)}}x(l)\\ \\ \bar{z}(l)={{V(l)}\over{y(l)}}z(l) \end{cases}----(16) ⎩⎪⎨⎪⎧xˉ(l)=y(l)V(l)x(l)zˉ(l)=y(l)V(l)z(l)−−−−(16)
由式(13)求得 x(I) ， y(I) , z(l)后，便可按上式求得 x ˉ ( l ) 和 z ˉ ( l ) \bar{x}(l)和 \bar{z}(l) xˉ(l)和zˉ(l)

1931CIE-XYZ系统的光谱兰刺激值已成为国际上的标准，定名为 CIE1931 标准色度观察者光谱三刺激值，简称 CIE1931 标准色度观察者。下图为口E1931 标准色度观察勒t谱三刺激值曲线：

下表给出了CIE1931 标准色度观察者光谱三剌激值的波长间隔为 5nm 的相应数据：

3. 1931 CIE-XYZ色品图

下图为 1931CIE-XYZ 色度系统的色品图，光谱色品轨迹也是一条马蹄形曲线，等能白光色品点(E)为颜色的参考点。被考虑的颜色的色品点(M)，其越接近光谱色品曲线，颜色饱和度越高，越接近白光色品点(E)，其饱和度越低。

光谱色的饱和度是最高的，没有比光谱色饱和度更高的颜色。实际存在的颜色的色品点均在光谱色品轨迹所包围的范围之内。

色品图还能表示两种颜色的混合，颜色(M)和颜色(N)的混合色的色品点应在颜色(M)和颜色(N)的色品点连线(M)(N)上。具体位置可根据两种颜色的三剌激值用求重心的方法确定。两种颜色颜色§和颜色(Q)混合成参考白色(E)时，这两种颜色称为互补色。在色品图上，互补色的两色品点连线一定通过参考自光的色品点(E)。

光谱色的色品轨迹开口端 770 nm和 380 nm色品点间的连线上的色品点所对应的颜色不是光谱色，而是 770nm (红)和 380nm (紫)两光谱色的混合色。

4.光源色和物体色的三剌激值

在 7.5中所讨论的颜色三剌激值的计算方法在本系统中完全适用，只不过是把公式的基本参数改为本系统的参数，可得本系统的颜色三刺激值的表示式
{ X = k ∫ 380 780 j ( l ) x ˉ ( l ) d l Y = k ∫ 380 780 j ( l ) y ˉ ( l ) d l Z = k ∫ 380 780 j ( l ) z ˉ ( l ) d l \begin{cases} X=k\int^{780}_{380}j(l)\bar{x}(l)dl\\ \\ Y=k\int^{780}_{380}j(l)\bar{y}(l)dl\\ \\ Z=k\int^{780}_{380}j(l)\bar{z}(l)dl\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧X=k∫380780j(l)xˉ(l)dlY=k∫380780j(l)yˉ(l)dlZ=k∫380780j(l)zˉ(l)dl

对于光源色的三剌激值:
{ X = k ∫ 380 780 s ( l ) x ˉ ( l ) d l Y = k ∫ 380 780 s ( l ) y ˉ ( l ) d l Z = k ∫ 380 780 s ( l ) z ˉ ( l ) d l − − − − ( 17 ) \begin{cases} X=k\int^{780}_{380}s(l)\bar{x}(l)dl\\ \\ Y=k\int^{780}_{380}s(l)\bar{y}(l)dl\\ \\ Z=k\int^{780}_{380}s(l)\bar{z}(l)dl\\ \end{cases}----(17) ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧X=k∫380780s(l)xˉ(l)dlY=k∫380780s(l)yˉ(l)dlZ=k∫380780s(l)zˉ(l)dl−−−−(17)

透射物体的颜色的三刺激值的表示式为：
{ X = k ∫ 380 780 s ( l ) t ( l ) x ˉ ( l ) d l Y = k ∫ 380 780 s ( l ) t ( l ) y ˉ ( l ) d l Z = k ∫ 380 780 s ( l ) t ( l ) z ˉ ( l ) d l \begin{cases} X=k\int^{780}_{380}s(l)t(l)\bar{x}(l)dl\\ \\ Y=k\int^{780}_{380}s(l)t(l)\bar{y}(l)dl\\ \\ Z=k\int^{780}_{380}s(l)t(l)\bar{z}(l)dl\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧X=k∫380780s(l)t(l)xˉ(l)dlY=k∫380780s(l)t(l)yˉ(l)dlZ=k∫380780s(l)t(l)zˉ(l)dl

反射物体颜色的三刺激值的表示式为:
{ X = k ∫ 380 780 s ( l ) R ( l ) x ˉ ( l ) d l Y = k ∫ 380 780 s ( l ) R ( l ) y ˉ ( l ) d l Z = k ∫ 380 780 s ( l ) R ( l ) z ˉ ( l ) d l \begin{cases} X=k\int^{780}_{380}s(l)R(l)\bar{x}(l)dl\\ \\ Y=k\int^{780}_{380}s(l)R(l)\bar{y}(l)dl\\ \\ Z=k\int^{780}_{380}s(l)R(l)\bar{z}(l)dl\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧X=k∫380780s(l)R(l)xˉ(l)dlY=k∫380780s(l)R(l)yˉ(l)dlZ=k∫380780s(l)R(l)zˉ(l)dl
或者以光谱反射比 r (l)取代 R(l):
{ X = k ∫ 380 780 s ( l ) r ( l ) x ˉ ( l ) d l Y = k ∫ 380 780 s ( l ) r ( l ) y ˉ ( l ) d l Z = k ∫ 380 780 s ( l ) r ( l ) z ˉ ( l ) d l \begin{cases} X=k\int^{780}_{380}s(l)r(l)\bar{x}(l)dl\\ \\ Y=k\int^{780}_{380}s(l)r(l)\bar{y}(l)dl\\ \\ Z=k\int^{780}_{380}s(l)r(l)\bar{z}(l)dl\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧X=k∫380780s(l)r(l)xˉ(l)dlY=k∫380780s(l)r(l)yˉ(l)dlZ=k∫380780s(l)r(l)zˉ(l)dl
实际上， s ( l ) , t ( 1 ) , R ( I ) 或 r ( l ) ， x ˉ ( l ) ， y ˉ ( l ) 和 z ˉ s(l) , t (1 ), R(I )或r (l)，\bar{x}(l)，\bar{y}(l)和\bar{z} s(l),t(1),R(I)或r(l)，xˉ(l)，yˉ(l)和zˉ常是以一定波长间隔 Δl的离散值形式给出的，则以上积分式可以用和式形式来代替。前面式中的k为归一化系数，改变k值，三刺激也要改变，所以它对三刺激值数值有调节作用。为了使三刺激值有统一的尺度， CIE规定光源的 Y剌激值为 100。则把式(17)所表示的光源色的 Y刺激取值为 100后，得
k = 100 ∫ l s ( l ) y ˉ ( l ) d l k={{100}\over{\int_{l}s(l)\bar{y}(l)}dl} k=∫ls(l)yˉ(l)dl100
这样确定系数k 的定义后，物体色的 Y刺激值为:

Y = ∫ l s ( l ) R ( l ) y ˉ ( l ) d l ∫ l s ( l ) y ˉ ( l ) d l × 100 = ∫ l s ( l ) R ( l ) V ( l ) d l ∫ l s ( l ) V ( l ) d l × 100 Y= {{{\int_{l}s(l)R(l)\bar{y}(l)}dl}\over{\int_{l}s(l)\bar{y}(l)}dl}×100= {{{\int_{l}s(l)R(l)V(l)}dl}\over{\int_{l}s(l)V(l)}dl}×100 Y=∫ls(l)yˉ(l)dl∫ls(l)R(l)yˉ(l)dl×100=∫ls(l)V(l)dl∫ls(l)R(l)V(l)dl×100
式中， V(I)为前面提到的光谱光视效率(或视见函数)。由上式知，物体色的 Y刺激值实际上代表反射(或透过)光通量相对于入射光通量的百分比，故 Y也称为亮度因数。

5.表示颜色特征的两个量：主波长和颜色纯度

5.1 主波长和补色波长

一种颜色的主波长是以一定比例与参考白光相混合匹配出该种颜色光谱色的波长的，以 l d l_{d} ld 表示。对于相同的颜色在不同的明度条件下，主波长将稍有不同，所以，主波长和颜色的色调在一定条件下是相对应的。

颜色的主波长可以从色品图上求得，如上图所示，在色品图上找到被考虑颜色的色品点（M）和参考白光的色品点(E)，连接(E)和(M)，并延长之与光谱轨迹相交，交点对应的波长就是该颜色的主波长。由图可知颜色（M）的主波长 l d = 550 n m l_{d}=550nm ld=550nm。并不是所有的颜色都有主波长，在光谱色品轨迹的开口处的两端点和参考白光色品点(E)构成的三角形内所表示的颜色都没有主波长，因为参考白光色品点(E)和其中任一点的连线均不能和光谱轨迹相交，例如图中的点(N)。但是把(E)(N)向反方向延长就可以和光谱轨迹相交于点§ ，点§所对应的波长不是颜色(N)的主波长，而是颜色(N)的互补色的主波长，称为颜色(N)的补色波长。为了和主波长相区别，补色波长前加"-"号，或在波长后加 “C”，例如颜色侧的补色波长写为 l d = − 550 n m l_{d}=-550nm ld=−550nm或 l d = 550 n m C l_{d}=550nmC ld=550nmC 。有主波长的颜色也可以有补色波长，例如图中的颜色(Q)，它有主波长，同时也有补色波长。

5.2 颜色纯度

颜色纯度表示颜色接近主波长光谱色的程度，颜色纯度的表示方法有两种。
(1)刺激纯度
任一种颜色都可以看成是一种光谱色与参考白光以一定比例的混合色，其中光谱色的三剌激值总和与混合色三剌激值总和的比值 P e P_{e} Pe，就能表示颜色接近光谱色的程度。定义 P e P_{e} Pe为颜色的剌激纯度 :
P e = X 1 + Y 1 + Z 1 X + Y + Z − − − − ( 18 ) P_{e}={{X_{1}+Y_{1}+Z_{1}}\over{X+Y+Z}}----(18) Pe=X+Y+ZX1+Y1+Z1−−−−(18)
式中， X 1 , Y 1 , Z 1 X_{1},Y_{1},Z_{1} X1,Y1,Z1为颜色(M)所包含的主波长光谱色的三剌激值;X，Y，Z为颜色(M)的三剌激值。假设颜色中包含的参考白光的三剌激值为 X 0 , Y 0 , Z 0 X_{0},Y_{0},Z_{0} X0,Y0,Z0。根据格拉斯曼定律，有
{ X = X 1 + X 0 Y = Y 1 + Y 0 Z = Z 1 + Z 0 \begin{cases} X=X_{1}+X_{0}\\ Y=Y_{1}+Y_{0}\\ Z=Z_{1}+Z_{0}\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧X=X1+X0Y=Y1+Y0Z=Z1+Z0
将其代入式（18）得：
P e = X 1 + Y 1 + Z 1 ( X 1 + Y 1 + Z 1 ) + ( X 0 + Y 0 + Z 0 ) = C 0 C 1 + C 0 P_{e}={{X_{1}+Y_{1}+Z_{1}}\over{(X_{1}+Y_{1}+Z_{1})+(X_{0}+Y_{0}+Z_{0})}}={{C_{0}}\over{C_{1}+C_{0}}} Pe=(X1+Y1+Z1)+(X0+Y0+Z0)X1+Y1+Z1=C1+C0C0
式中， C1 =X1 + Y1 +Z1 为颜色(M)所包含主波长光谱色三剌激值的总和: C 0 = X 0 + Y 0 + Z 0 C_{0} =X_{0}+Y_{0}+Z_{0} C0=X0+Y0+Z0为参考白光三剌激值的总和。从下图中的色品图上可按求重心的方法来确定C1 和C0。即：
C 1 C 0 = O M M L {C_{1}\over{C_{0}}}={{OM}\over{ML}} C0C1=MLOM
经比例变换，有
P e = C 1 C 0 + C 1 = O M M L + O M = O M O L = x − x 0 x 1 − x 0 = y − y 0 y 1 − y 0 P_{e}={C_{1}\over{C_{0}+C_{1}}}={{OM}\over{ML+OM}}={{OM}\over{OL}}={{x-x_{0}}\over{x_{1}-x_{0}}}={{y-y_{0}}\over{y_{1}-y_{0}}} Pe=C0+C1C1=ML+OMOM=OLOM=x1−x0x−x0=y1−y0y−y0

这就是根据颜色、主波长光谱色和参考白光的色品坐标求剌激纯度的计算公式。
当 x − x 0 > y − y 0 时， P e = x − x 0 x 1 − x 0 x-x_{0}> y-y_{0}时，P_{e}={{x-x_{0}}\over{x_{1}-x_{0}}} x−x0>y−y0时，Pe=x1−x0x−x0
当 x − x 0 < y − y 0 时， P e = y − y 0 y 1 − y 0 x-x_{0}< y-y_{0}时，P_{e}={{y-y_{0}}\over{y_{1}-y_{0}}} x−x0<y−y0时，Pe=y1−y0y−y0

(2)亮度纯度
颜色的纯度也可以用该颜色所包含的光谱色的光亮度与该颜色的总光亮度的比值来表示，称为亮度纯度，以 P c P_{c} Pc表示。由前面的讨论知，颜色的Y刺激值与颜色的亮度成正比，故有
P c = Y 1 Y P_{c}={Y_{1}\over{Y}} Pc=YY1
式中，Y1为颜色中光谱色的亮度因数，Y 为该颜色的亮度因数。上面定义剌激纯度 Pe为：
P e = X 1 + Y 1 + Z 1 X + Y + Z − − − − ( 18 ) P_{e}={{X_{1}+Y_{1}+Z_{1}}\over{X+Y+Z}}----(18) Pe=X+Y+ZX1+Y1+Z1−−−−(18)
而 X 1 + Y 1 + Z 1 = Y 1 / y 1 , X + Y + Z = Y / y X_{1}+Y_{1}+Z_{1}=Y_{1}/y_{1},X+Y+Z=Y/y X1+Y1+Z1=Y1/y1,X+Y+Z=Y/y,故

P e = Y 1 y 1 y Y P_{e}={Y_{1}\over{y_{1}}}{y\over Y} Pe=y1Y1Yy
即 P e = P c y y 1 P_{e}=P_{c}{y\over y_{1}} Pe=Pcy1y
P c = P e y 1 y P_{c}=P_{e}{y_{1}\over y} Pc=Peyy1
上式表示剌激纯度 P e P_{e} Pe与亮度纯度 P c P_{c} Pc之间的关系。颜色纯度和颜色饱和度有一定关系，但是由于在色品图上不同部位的颜色纯度相同时饱和度不完全相同，故颜色纯度只是与颜色饱和度大致相当。

6. CIE1964补充标准色度学系统

前面讨论的 1931CIE-RGB 标准色度学系统和 1931CIE-XYZ 标准色度学系统的基本数据都是从莱特和吉尔德实验数据换算求得，因此，它们只适用于小视场角(<4°)的情况下的颜色标定。

为适应大视场情况下颜色的测量和标定， CIE在 1964 年公布了 CIEI964补充色度学系统。它规定了适合于 10°视场使用的CIE1964 补充色度观察者光谱三剌激值和色品图。其计算方法与1931CIE-XYZ系统的三剌激值和色品坐标的计算方法完全相同，只不过要用本系统所规定的基本数据。为了与1931CIE-XYZ 系统相区别，所用的符号要加下标 “10”。例如，三剌激值表示为 X 10 , Y 10 , Z 10 X_{10},Y_{10},Z_{10} X10,Y10,Z10等。

7.CIE色度学系统表示颜色的方法

以上介绍了 CIE色度学系统的基本内容。总结起来，用该色度学系统表示颜色的方法有以下两种:

7.1用三刺激值表示颜色

最常用的是 1931CIE-XYZ标准色度学系统中所规定的三刺激值X,Y,Z。用此种方法表示颜色的困难是三刺激值由于定标困难而难于准确测量。

7.2用色品坐标 x， y以及 Y剌激值表示颜色

色品坐标是三刺激值各自对三刺激值总量的比值，在测量中不需对三刺激值准确地定标，便可较为准确地确定色品坐标，故常用色品坐标(x，y)表示颜色。但是，由于色品坐标是三刺激值各自对于三刺激值总量的比值，从而失去了表示光亮度的因子，只是表示了颜色的色调和饱和度。为能完整地表示颜色，还须加上表示颜色光亮度的参数 Y，因而用 x ， y和 Y表示颜色就成为常用的方法了。