tyco 中国：中国人口增长的数学模型（for数学建模）

摘要

本文旨在建立数学模型描述并预测中国人口变化情况, 并努力全面合 理地分析人口老龄化、城乡人口分布、男女比例等现实因素对人口发展的 影响, 从而优化基本人口模型.

首先我们提出两个基本人口增长模型: 人口指数增长模型和人口阻滞增 长模型, 他们在生物种群分析、社会研究等领域都有广泛应用. 经过在原始 模型中引入修正参数并运用非线性最小二乘法求解, 它们对于中国人口增长 的描述是一定程度上可以适用的.

为了进一步优化人口增长模型, 我们依次考虑了年龄结构、人口城乡分 布、生育模式对于人口增长的影响. 分别使用到的关键方法如下:

1. 模仿概率论中概率分布函数和概率密度函数的定义, 引入了若干能够 同时反映人口与时间、人口与年龄分布情况关系的二元函数, 和表征 了育龄女性生育模式的关于年龄的女性生育加权因子;

2. 将影响人口变化的因素细分为城、镇、乡的自然增长率、净迁移率从 而实现各区域人口分别估计.

关键词: 非线性最小二乘法, 人口指数增长模型, 人口阻滞增长模型, 连 续人口发展方程, 生育模式

1 问题重述

中国是世界上人口最多的国家, 人口众多、人均资源相对不足是我国的 基本国情. 所以, 人口过多一直制约着中国的发展. 

但自从中国在20世纪70年代全面推行计划生育以来, 我国的人口增速稳 步放缓, 形式趋于乐观. 但与此同时也出现了新的人口变化, 例如: 老龄化进 程加速、出生人口性别比持续升高以及乡村人口城镇化等, 这些都影响着中 国人口的数量增长与结构严谨. 因此, 利用已有数据和已掌握的现有国情, 通过数学建模对中国人口做出分析和预测是一个重要且必要的任务. 这将直 接为中国经济和社会发展决策提供科学依据, 同时对于加速推进我国现代化 建设有现实指导意义.

2.模型假设

1. 由于中国人口基数庞大, 我们忽略国际人口迁移对中国人口发展的影 响.

2. 将中国或中国部分地区的人口看做关于各个变量均连续可微的正值函 数

3 符号说明

符号 符号说明

t 年份

P(t) 年份 t 的人口

P0 初始人口数量

B(t) 年份 t 的出生率

D(t) 年份 t 的死亡率

r 人口增长率

r(t) 年份 t 的人口增长率

r0 固有增长率

M 人口容量

c 待定的修正参数

a 年龄

F(a, t) 年份 t 时年龄小于 a 的人口

ρ(a, t) 人口分布函数

µ(a, t) 死亡率函数

ρ0(a) 初始人口密度函数

f(t) 婴儿出生率函数

4 基本模型准备

一个地区的人口增长率基本可由该地区的出生率、死亡率、迁入率、 迁出率共同决定, 由于本文研究中国人口增长, 人口基数足够庞大, 因此可 忽略人口迁入迁出对于总人口的影响, 即成立

r(t) = B(t) − D(t). （1）

设年份 t 时中国人口为 P(t).