笛卡尔坐标系：笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinate system)

笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinate system)

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在数学中，笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinate system) 是一种正交坐标系，亦称为直角坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。

采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确地表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这个代数公式。直线标准式 (一般式) a x + b y + c = 0 ax + by + c = 0 ax+by+c=0、斜截式 y = m x + k y = mx + k y=mx+k。以点 ( a , b ) (a, b) (a,b) 为圆心， r r r 为半径的圆可以用 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} (x−a)2+(y−b)2=r2 表示。

图 1 红色的圆，半径是 2，圆心位于直角坐标系的原点。圆的方程为 $x^2 + y^2 = 4$。

1. 二维坐标系统

The origin is often labeled O O O, and the two coordinates are often denoted by the letters X X X and Y Y Y, or x x x and y y y. The axes may then be referred to as the X X X-axis and Y Y Y-axis.
二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为 x x x-轴和 y y y-轴。两个坐标轴的相交点称为原点，通常标记为 O O O，既有零的意思，又是英语 Origin 的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为 x y xy xy-平面，又称为笛卡尔平面。

习惯性地， x x x-轴被水平摆放称为横轴，通常指向右方。 y y y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。两个坐标轴这样的位置关系称为二维的右手坐标系，或右手系。

如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系。如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为左手系。

图 2 直角坐标系。图中四点的坐标分别为绿点：$(2, 3)$，红点：$( -3, 1)$，蓝点：$(-1.5, -2.5)$，紫点：$(0, 0)$。

从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离。同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称 x x x-轴刻画的数值为 x x x-坐标，又称横坐标，称 y y y-轴刻画的数值为 y y y-坐标，又称纵坐标。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。

1.1 Quadrants and octants (象限与卦限)

quadrant [ˈkwɒdrənt]：n. 象限，象限仪，四分之一圆octant ['ɒktənt]：n. 八分圆，八分区，卦限，八分仪

任何一个点 P P P 在平面的位置，可以用直角坐标来表达。只要从点 P P P 画一条垂直于 x x x-轴的直线。从这条直线与 x x x-轴的相交点，可以找到点 P P P 的 x x x-坐标。同样地，可以找到点 P P P 的 y y y-坐标。图 3，点 P P P 的直角坐标是 ( 3 , 5 ) (3, 5) (3,5)。

图 3 直角坐标系的四个象限，按照逆时针方向，从象限 $I$ 到象限 $IV$。坐标轴的头部象征着，往所指的方向，无限的延伸。

直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别用罗马数字编号为 I   ( + , + ) I\ (+, +) I (+,+)， I I   ( − , + ) II\ ( -, +) II (−,+)， I I I ( − , − ) III (-, - ) III(−,−)， I V ( + , − ) IV (+, - ) IV(+,−)。依照惯例，象限 I I I 的两个坐标都是正值；象限 I I II II 的 x x x-坐标是负值， y y y-坐标是正值；象限 I I I III III 的两个坐标都是负值的；象限 I V IV IV 的 x x x-坐标是正值， y y y-坐标是负值。所以象限的编号是按照逆时针方向，从象限 I I I 编到象限 I V IV IV。

1.2 二维空间

直角坐标系的 x x x-轴与 y y y-轴必须相互垂直。正值的 x x x-轴横地指向右方，正值的 y y y-轴纵地指向上方。这种取向称为正值取向、标准取向或右手取向。

右手定则是一种常用的记忆方法，专门用来辨认正值取向：将一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，其它的手指都从 x x x-轴指向 y y y-轴。

左手定则专门用来辨认负值取向或左手取向：将一只半握拳的左手放在 x y xy xy-平面上，大拇指往上指，其它的手指都从 y y y-轴指向 x x x-轴。

不论坐标轴是何种取向，将坐标系统做任何角度的旋转，取向仍旧会保持不变。

2. 三维坐标系统

在二维直角坐标系上添加一个垂直于 x x x-轴和 y y y-轴的坐标轴，称为 z z z-轴。这三个坐标轴满足右手定则，则可得到三维的直角坐标系。 z z z-轴与 x x x-轴， y y y-轴相互正交于原点。在三维空间的任何一点 P P P，可以用直角坐标 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z) 来表达其位置。参阅图 4，两个点 P P P 与 Q Q Q 的直角坐标分别为 ( 3 , 0 , 5 ) (3, 0, 5) (3,0,5) 与 ( − 5 , − 5 , 7 ) ( - 5, - 5, 7) (−5,−5,7)。

三维直角坐标系的三个平面， x y xy xy-平面， y z yz yz-平面， x z xz xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限 (octant)。第一卦限 I I I 中每一个点的三个坐标都是正值。

图 4 三维直角坐标系。y-轴的方向是远离读者

图 5 三维笛卡尔坐标系

图 6 A three dimensional Cartesian coordinate system, with origin $O$ and axis lines $X$, $Y$ and $Z$, oriented as shown by the arrows. The tick marks on the axes are one length unit apart. The black dot shows the point with coordinates $x = 2$, $y = 3$, and $z = 4$, or $(2, 3, 4)$. tick [tɪk]：n. 蜱，记号，赊账，核对号 v. 发出滴答声，滴答地走时，标记号，打上钩

4. 三维空间

直角坐标系的 x x x-轴、 y y y-轴与 z z z-轴必须相互垂直。右手坐标系又称为标准坐标系或正值坐标系。

右手坐标系这名词是由右手定则而来的。先将右手的手掌与手指伸直，然后将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指、食指都呈直角关系。则大拇指、食指与中指分别表示了右手坐标系的 x x x-轴、 y y y-轴与 z z z-轴。同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。

图 5 试着展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。用二维画面来展示三维物体，会造成扭曲或模棱两可的图形。指向下方与右方的轴，也有指向读者的意思；而位置居于中间的轴，也有指向读者正在看的方向的意思。平行于 xy-平面的红色圆形曲箭，其红色箭头从 z-轴前面经过，表示从 x-轴往 y-轴的旋转方向。

图 5 左边是左手取向，右边是右手取向。

References

https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system