圆周率4:为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ? 2024-05-03 03:31:26 0 0 按照下图的算法,似乎可以算出圆周率 这是一个常数数列,该数列的极限为4,这说明弯折过程中圆外多边形的周长是没有发生变化的。 1.2 面积逼近 一开始,外接正方形和圆形的面积大概相差4个直角三角形,也就是下图中蓝色的四个直角三角形。因为圆的直径为1,所以容易推出这四个直角三角形的面积之和为 ,也就是说外接正方形和圆形的面积大概相差 : 不断地弯折圆外多边形,可以算出这些直角三角形的和是在不断减小的,也就是圆外多边形和圆形的面积差在不断减小: 这说明圆外多边形的面积在不断逼近圆形的面积。 1.3 科赫雪花 综上,之所以得到错误的结论,是我们直觉上认为面积逼近的同时周长也会逼近。这个直觉是错误的,周长和面积并没有绝对的对应关系。来看一个更极端的例子,像下面动图一样,从边长为 的等边三角形开始,可以生成类似于雪花的图像,也称为科赫雪花: 可以证明,科赫雪花的面积的极限为 ,但周长的极限为无穷大,具体细节可以参考这里。 2 另外一个问题 下面来看一个类似的问题,这个问题可以帮助我们思考得更深一些。同样是直径为1的圆,在它的圆周上画满相切的圆: 如果交替地取这些圆在圆周内的部分和圆周外的部分,就构成了一条缠绕着圆周的连续曲线: 上图中的曲线是由8个圆组成的,当然可以用更多的相切圆来构造该曲线。随着相切圆的增加,该曲线的周长会持续缩小,但是到一定程度后周长就不再缩小了: 实际上,该曲线的周长会停留在该数值附近,并不会逼近圆的周长。背后到底是什么原因,使得曲线周长没有逼近圆的周长? 3 切线 在微积分中学习过,在一定的条件下, 点附近的曲线可以用切线来近似(这是《单变量微积分》中的内容): 3.1 曲线的长度 假如要计算曲线在 之间的长度,可以将把 切成 份,对应的曲线也被分成了 份: 因为切线是对曲线的近似,所以可用每个部分的切线段长度来近似每个部分的曲线段: 进一步细分 ,也就是让 变得更大,可以看到近似的效果会越来越好: 当 时,这些切线段的长度加起来就是曲线的长度。 3.2 错误的逼近 回头来看一下,之前的例子是用折线或者曲线去逼近圆形的周长: 而不是用圆形的切线去逼近圆形的周长,这就是得出错误结论的原因。 3.3 为什么是切线 那为什么圆形的切线才能去逼近圆形的周长呢?这个问题可能需要用整个《单变量微积分》课程来回答。这里就简单说一下重点,可以证明,曲线的切线和曲线之间相差一个高阶 无穷小,也就是下图标注的 : 上述说法反过来也是成立的: 在计算圆形周长的例子中,用来近似圆形周长的折线、曲线,它们只和圆形相差了一个无穷小。这里不去深究具体的代数表达式,只需要知道,高阶 无穷小的意思就是比无穷小还要小。也就是说,圆形的切线是最接近圆形的,因为它们之间相差最小(高阶无穷小)。所以,必须用切线才能成功逼近。 文章的最新版本请查看:为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ? 收藏(0)