泊松分布:如何通俗理解泊松分布? 2024-05-03 03:36:25 0 0 1 甜在心馒头店 公司楼下有家馒头店: 每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应? 老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据): 均值为: 按道理讲均值是不错的选择(参见如何理解最小二乘法?),但是如果每天准备5个馒头的话,从统计表来看,至少有两天不够卖, 的时间不够卖: 你“甜在心馒头店”又不是小米,搞什么饥饿营销啊?老板当然也知道这一点,就拿起纸笔来开始思考。 2 老板的思考 老板尝试把营业时间抽象为一根线段,把这段时间用 来表示: 然后把周一的三个馒头(“甜在心馒头”,有褶子的馒头)按照销售时间放在线段上: 把 均分为四个时间段: 此时,在每一个时间段上,要不卖出了(一个)馒头,要不没有卖出: 在每个时间段,就有点像抛硬币,要不是正面(卖出),要不是反面(没有卖出): 内卖出3个馒头的概率,就和抛了4次硬币(4个时间段),其中3次正面(卖出3个)的概率一样了。 这样的概率通过二项分布来计算就是: 但是,如果把周二的七个馒头放在线段上,分成四段就不够了: 从图中看,每个时间段,有卖出3个的,有卖出2个的,有卖出1个的,就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。 解决这个问题也很简单,把 分为20个时间段,那么每个时间段就又变为了抛硬币: 这样, 内卖出7个馒头的概率就是(相当于抛了20次硬币,出现7次正面): 为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”,干脆把时间切成 份: 越细越好,用极限来表示: 更抽象一点, 时刻内卖出 个馒头的概率为: 3 的计算 “那么”,老板用笔敲了敲桌子,“只剩下一个问题,概率 怎么求?” 在上面的假设下,问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为: 那么: 4 泊松分布 有了 了之后,就有: 我们来算一下这个极限: 其中: 所以: 上面就是泊松分布的概率密度函数,也就是说,在 时间内卖出 个馒头的概率为: 一般来说,我们会换一个符号,让 ,所以: 这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。 5 馒头店的问题的解决 老板依然蹙眉,不知道 啊? 没关系,刚才不是计算了样本均值: 可以用它来近似: 于是: 画出概率密度函数的曲线就是: 可以看到,如果每天准备8个馒头的话,那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来: 这样 的情况够用,偶尔卖缺货也有助于品牌形象。 老板算出一脑门的汗,“那就这么定了!” 6 二项分布与泊松分布 鉴于二项分布与泊松分布的关系,可以很自然的得到一个推论,当二项分布的 很小的时候,两者比较接近: 7 总结 这个故事告诉我们,要努力学习啊,要不以后馒头都没得卖。 生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期,我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少,但是因为不确定性原理,我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变?所以可以用泊松分布来计算。 还有比如交通规划等等问题。 顺着这个故事我们还可以讲解:如何理解指数分布? 文章最新版本在(有可能会有后续更新):如何理解泊松分布? 收藏(0)