bst:BST(二叉搜索树) 2024-04-03 07:36:42 0 0 BST(二叉搜索树) 所谓二叉搜索树(Binary Search Tree,简称 BST)大家应该都不陌生,它是一种特殊的二叉树。 特殊在哪里呢?简单来说就是:左小右大 BST的完整定义如下:BST 中任意一个节点的左子树所有节点的值都小于该节点的值,右子树所有节点的值都大于该节点的值。BST 中任意一个节点的左右子树都是 BST。 有了BST的这种特性,就可以在二叉树中做类似二分搜索的操作,搜索一个元素的效率很高。 一个合法二叉树的举例 对于 BST 相关的问题,你可能会经常看到类似下面这样的代码逻辑:void BST(TreeNode root, int target) { if (root.val == target) // 找到目标,做点什么 if (root.val < target) BST(root.right, target); if (root.val > target) BST(root.left, target);}这个代码框架其实和二叉树的遍历框架差不多,无非就是利用了 BST 左小右大的特性而已。接下来我们讲几道二叉搜索树的必知必会题目。 判断BST的合法性 这里是有坑的哦,我们按照刚才的思路,每个节点自己要做的事不就是比较自己和左右孩子吗?看起来应该这样写代码:boolean isValidBST(TreeNode root) { if (root == null) return true; if (root.left != null && root.val <= root.left.val) return false; if (root.right != null && root.val >= root.right.val) return false; return isValidBST(root.left) && isValidBST(root.right);} 但是这个算法出现了错误,BST 的每个节点应该要小于右边子树的所有节点,下面这个二叉树显然不是 BST,因为节点 10 的右子树中有一个节点 6,但是我们的算法会把它判定为合法 BST: 上述代码出现问题的原因在于对于每一个节点 root,代码值检查了它的左右孩子节点是否符合左小右大的原则;但是根据 BST 的定义,root 的整个左子树都要小于 root.val,整个右子树都要大于 root.val。**问题是,**对于某一个节点 root,他只能管得了自己的左右子节点,怎么把 root 的约束传递给左右子树呢? 请看正确的代码boolean isValidBST(TreeNode root) { return isValidBST(root, null, null);}/* 限定以 root 为根的子树节点必须满足 max.val > root.val > min.val */boolean isValidBST(TreeNode root, TreeNode min, TreeNode max) { // base case if (root == null) return true; // 若 root.val 不符合 max 和 min 的限制,说明不是合法 BST if (min != null && root.val <= min.val) return false; if (max != null && root.val >= max.val) return false; // 限定左子树的最大值是 root.val,右子树的最小值是 root.val return isValidBST(root.left, min, root) && isValidBST(root.right, root, max);} 我们通过使用辅助函数,增加函数参数列表,在参数中携带额外信息,将这种约束传递给子树的所有节点,这也是二叉树算法的一个小技巧吧。 二叉搜索树中的搜索 LeetCode 700 二叉搜索树中的搜索 问题描述 函数签名:TreeNode searchBST(TreeNode root, int target); 如果是在一棵普通的二叉树中寻找,可以这样写代码:TreeNode searchBST(TreeNode root, int target); if (root == null) return null; if (root.val == target) return root; // 当前节点没找到就递归地去左右子树寻找 TreeNode left = searchBST(root.left, target); TreeNode right = searchBST(root.right, target); return left != null ? left : right;} 这样写完全正确,但这段代码相当于穷举了所有节点,适用于所有普通二叉树。那么应该如何充分利用信息,把 BST 这个「左小右大」的特性用上? 很简单,其实不需要递归地搜索两边,类似二分查找思想,根据 target 和 root.val 的大小比较,就能排除一边。我们把上面的思路稍稍改动:TreeNode searchBST(TreeNode root, int target) { if (root == null) { return null; } // 去左子树搜索 if (root.val > target) { return searchBST(root.left, target); } // 去右子树搜索 if (root.val < target) { return searchBST(root.right, target); } return root;} 在BST中插入一个数对数据结构的操作无非遍历 + 访问,遍历就是「找」,访问就是「改」。具体到这个问题,插入一个数,就是先找到插入位置,然后进行插入操作。 上一个问题,我们总结了BST 中的遍历框架,就是「找」的问题。直接套框架,加上「改」的操作即可。一旦涉及「改」,函数就要返回 TreeNode 类型,并且对递归调用的返回值进行接收。TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) { // 找到空位置插入新节点 if (root == null) return new TreeNode(val); // if (root.val == val) // BST 中一般不会插入已存在元素 if (root.val < val) root.right = insertIntoBST(root.right, val); if (root.val > val) root.left = insertIntoBST(root.left, val); return root;} 在BST中删除一个数 这个问题稍微复杂,跟插入操作类似,先「找」再「改」,先把框架写出来再说:TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) { if (root.val == key) { // 找到啦,进行删除 } else if (root.val > key) { // 去左子树找 root.left = deleteNode(root.left, key); } else if (root.val < key) { // 去右子树找 root.right = deleteNode(root.right, key); } return root;} 找到目标节点了,比方说是节点 A,如何删除这个节点,这是难点。因为删除节点的同时不能破坏 BST 的性质。有三种情况,用图片来说明。 删除节点的同时不能破坏BST的性质,有三种情况 情况一:A 恰好是末端节点,两个子节点都为空,那么它可以当场去世了。 if (root.left == null && root.right == null) return null; 情况二:A 只有一个非空子节点,那么它要让这个孩子接替自己的位置。 // 排除了情况 1 之后if (root.left == null) return root.right;if (root.right == null) return root.left; 情况三:A 有两个子节点,麻烦了,为了不破坏 BST 的性质,A 必须找到左子树中最大的那个节点,或者右子树中最小的那个节点来接替自己。我们以第二种方式讲解。if (root.left != null && root.right != null) { // 找到右子树的最小节点 TreeNode minNode = getMin(root.right); // 把 root 改成 minNode root.val = minNode.val; // 转而去删除 minNode root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);} 三种情况分析完毕,填入框架,简化一下代码TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) { if (root == null) return null; if (root.val == key) { // 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了 if (root.left == null) return root.right; if (root.right == null) return root.left; // 处理情况 3 // 获得右子树最小的节点 TreeNode minNode = getMin(root.right); // 删除右子树最小的节点 root.right = deleteNode(root.right, minNode.val); // 用右子树最小的节点替换 root 节点 minNode.left = root.left; minNode.right = root.right; root = minNode; } else if (root.val > key) { root.left = deleteNode(root.left, key); } else if (root.val < key) { root.right = deleteNode(root.right, key); } return root;}TreeNode getMin(TreeNode node) { // BST 最左边的就是最小的 while (node.left != null) node = node.left; return node;}这样,删除操作就完成了。注意一下,上述代码在处理情况 3 时通过一系列略微复杂的链表操作交换 root 和 minNode 两个节点:// 处理情况 3// 获得右子树最小的节点TreeNode minNode = getMin(root.right);// 删除右子树最小的节点root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);// 用右子树最小的节点替换 root 节点minNode.left = root.left;minNode.right = root.right;root = minNode;你可能会疑惑,替换 root 节点为什么这么麻烦,直接改 val 字段不就行了?看起来还更简洁易懂:// 处理情况 3// 获得右子树最小的节点TreeNode minNode = getMin(root.right);// 删除右子树最小的节点root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);// 用右子树最小的节点替换 root 节点root.val = minNode.val;仅对于这道算法题来说是可以的,但这样操作并不完美,我们一般不会通过修改节点内部的值来交换节点。因为在实际应用中,BST 节点内部的数据域是用户自定义的,可以非常复杂,而 BST 作为数据结构(一个工具人),其操作应该和内部存储的数据域解耦,所以我们更倾向于使用指针操作来交换节点,根本没必要关心内部数据。不过这里我们暂时忽略这个细节,旨在突出 BST 基本操作的共性,以及借助框架逐层细化问题的思维方式。 总结 通过这篇文章,我们总结出了如下几个技巧:如果当前节点会对下面的子节点有整体影响,可以通过辅助函数增长参数列表,借助参数传递信息。在二叉树递归框架之上,扩展出一套 BST 代码框架:void BST(TreeNode root, int target) { if (root.val == target) // 找到目标,做点什么 if (root.val < target) BST(root.right, target); if (root.val > target) BST(root.left, target);}根据代码框架掌握了 BST 的增删查改操作。 收藏(0)